Moyenne pondérée

Définition
Soit \(p\) un entier naturel non nul et \(i\) un entier naturel compris entre 1 et \(p\).
On considère la série statistique donnée par le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeurs } \ x_i & x_1 & x_2 & \dots & x_p\\ \hline\text{Effectif} \ n_i& n_1 & n_2 & \dots & n_p\\ \hline\end{array}\)

On note \(N\) l'effectif total.
\(N=n_1+n_2+\cdots+n_p\) 
La moyenne pondérée \(\overline{x}\) de la série statistique est donnée par \(\boxed{ \overline{x}= \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots + n_px_p}{N}}\)

Exemples

1. On a relevé les températures journalières moyennes à Paris en décembre 2024 :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Température moyenne en degrés Celsius} & 0 & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline\text{Nombre de jours} & 1 & 1 & 4 & 3 & 6 & 4 & 3 & 6 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\)
La moyenne est : \(\overline{x}=\dfrac{0\times 1 +2\times 1 +3\times 4 +5\times 3+6\times 6+7\times 4 +8\times 3 +9\times 6 +10\times 2 +11\times 1}{1+1+4+3+6+4+3+6+2+1}\)soit \(\overline{x}\approx 6,5\) (arrondi au dixième près) .
Donc la température journalière moyenne à Paris en décembre 2024 est de 6,5 °C environ.

2. Nathan a obtenu les notes suivantes sur le trimestre : 
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Note} & 12 & 14,5& 8,5 & 17 & 11 \\ \hline\text{Coefficient} & 2 & 1 & 3 & 2 &4 \\ \hline\end{array}\)
La moyenne trimestrielle de Nathan est \(\overline{x}=\dfrac{2\times 12 +1\times 14,5+3\times 8,5 + 2\times 17+4\times 11 }{2+1+3+2+4} \approx 11,8\) (arrondie au dixième près).

Remarque
La moyenne est un indicateur de position, tout comme la médiane : c'est une valeur autour de laquelle les valeurs de la série statistique ont tendance à se regrouper.  

Notation
La somme \(x_1+x_2+\cdots+x_p\) se note \(\displaystyle\sum_{k=1}^p x_k\) et se lit "somme pour \(k\) variant de 1 à \(p\) des \(x_k\)"
Avec cette nouvelle notation on a donc \(\overline{x}= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^p n_px_p}{N}\).

Remarque 
On peut également calculer la moyenne pondérée à l'aide des fréquences associées à chaque valeur.
En effet  \(\overline{x}= \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots + n_px_p}{N} =\dfrac{n_1x_1}{N}+ \dfrac{n_2x_2}{N}+\dots + \dfrac{n_px_p}{N}\)
et \(\dfrac{n_1}{N} = f_1, \dfrac{n_2}{N} = f_2, \dots , \dfrac{n_p}{N} = f_p\), d'où \(\overline{x}=f_1\times x_1 + f_2 \times x_2 +\cdots + f_p \times x_p = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k\times x_k\).